УДК 629.113.004.67

Математична моель виробничої системи підприємства автосервісу

Кандидат технічних наук, професор Андрусенко С.І.

Аспірант Бугайчук О.С.

Постановка проблеми. Підприємства автосервісу (ПАС) є комерційними підприємствами. Тому метою їх діяльності має бути максимізація прибутку як у короткотривалому, так і в довготривалому періодах. Клієнти автосервісу скаржаться на високі ціни. В той же час певна частина виробничих потужностей і персоналу в багатьох ПАС простоюють із-за відсутності замовлень. Спостерігається незбалансованість платоспроможного попиту на послуги автосервісу та їх пропозиції. Взаємна залежність ціни послуг і попиту на них описується характеристикою попиту. Звичайно зі збільшенням ціни товару попит на нього зменшується і навпаки. При цьому існує таке співвідношення ціни та попиту, при якому прибуток, що його отримує підприємство, є максимальний. Тому важливим є визначення оптимальних значень вартостей продажу різних видів послуг ПАС, які б дозволили максимізувати прибуток підприємства, а також параметрів виробничо-технічної бази ПАС і кількості персоналу, які забезпечили б ефективне задоволення попиту на послуги при оптимальній ціні. Виходячи з цього розробка методики, яка б дозволила оперативно визначати оптимальні параметри діяльності підприємства, має велике практичне значення.

При наданні послуг з технічного обслуговування (ТО) та ремонту автомобілів використовується переважно ручна праця. Обслуговування в автосервісі супроводжується наданням за окрему плату та використанням запасних частин, експлуатаційних матеріалів і агрегатів автомобіля. Складовими доходу ПАС є продаж робочої сили та матеріальних складових послуги – запасних частин (ЗЧ), експлуатаційних матеріалів (ЕМ), а також агрегатів (АГР) або запасних частин до них. Тому важливою задачею також є визначення оптимального співвідношення дохідностей продажу робочої сили та матеріальних складових з урахуванням характеристик попиту на них, що склалися на ринку.

Аналіз останніх досліджень і публікацій показує, що такий підхід до організації управління підприємствами автосервісу поки що не знайшов широкого застосування при організації роботи ПАС. В той же час в математичній економіці достатньо детально розроблена неокласична теорія одно- та багатопродуктової фірми, в якій представлені математичні моделі поведінки таких підприємств, цільовою функцією яких є максимізація прибутку як в короткостроковому, так і в довгостроковому періодах [1]. Але такі моделі не враховують специфіку роботи ПАС, зокрема той факт, що продаж ЗЧ, ЕМ та АГР не є кінцевим продуктом діяльності, а пов’язаний з задоволенням потреби клієнта шляхом усунення несправності в автомобілі з скоординованим використанням робочої сили ПАС та матеріальних товарів у вигляді ЗЧ, ЕМ та АГР.

Метою даної статті є розробка об’ємної математичної моделі виробничої системи підприємства автосервісу, аналіз якої дозволив би встановити взаємний вплив різних параметрів діяльності підприємства на показники ефективності його роботи та визначати оптимальні значення цих параметрів, при яких підприємство отримує максимальний прибуток в конкретних умовах роботи.

Виклад основного матеріалу дослідження. Прибуток підприємства від надання послуг визначається як різниця між його доходами від продажу послуг та витратами , які несе підприємство при їх наданні

, (1)

, (2)

, (3)

де , – відповідно дохід від виконання -го замовлення та витрати, пов’язані з його виконанням; – кількість виконаних замовлень за певний період часу.

ПАС отримує дохід завдяки виконання послуг з ТО та ремонту автомобілів , а також продажу запасних частин , агрегатів , експлуатаційних матеріалів , які використовуються при виконанні ТО та ремонтів

, (4)

де - відповідно вектори доходів від продажу робочої сили, запасних частин, агрегатів та експлуатаційних матеріалів.

Сукупний дохід ПАС дорівнює

. (5)

У свою чергу доходи від продажу робочої сили, запасних частин, агрегатів та експлуатаційних матеріалів можна визначити наступним чином.

Дохід, отриманий від продажу послуг, тобто від продажу робочої сили дорівнює

, (6)

, (7)

де к– кількість груп робіт з різними вартостями нормо-години; - вартість нормо-години в групі робіт, при яких - кількість замовлень в групі робіт з однаковою вартістю нормо-години; – нормований час виконання і – ої роботи в j – ій групі робіт; - середній час виконання замовлення в групі робіт з однаковою вартістю нормо-години.

В ринкових умовах вартість нормо-години впливає на кількість замовлень , які виконує ПАС. Така залежність називається характеристикою або кривою попиту. Для аналізу зручно представляти характеристику попиту у вигляді прямої

, (8)

де - коефіцієнти, що визначаються експериментально шляхом дослідження ринку для кожної групи робіт з однаковою вартістю нормо-години.

Дохід від продажу запчастин можна визначити за формулами

, (9)

, (10)

де - вартість h-ої запчастини при виконанні і-го замовлення; - вартість запчастин виду h, що складають номенклатуру q; - середня вартість набору запчастин при виконанні одного замовлення, при якому клієнт купив запчастини в ПАС; r – кількість запчастин різного виду, що використовуються при виконанні і-го замовлення; g – кількість замовлень, в яких використовуються запчастини, придбані в цьому ПАС; - кількість запчастин кожного виду, що використані при виконанні g замовлень; q – кількість найменувань запчастин (номенклатура), що використані при виконанні g замовлень.

Кількість замовлень g, при виконанні яких використовуються запчастини, придбані в ПАС, звичайно менша ніж загальна кількість замовлень n (g n), тому що, по-перше, є замовлення, які не потребують використання запасних частин (миття автомобіля, діагностування, деякі види технічного обслуговування, регулювальні роботи), по-друге - клієнт може надавати свої запчастини для виконання замовлення із-за великої, на його погляд, ціни на потрібні запчастини в ПАС.

Дохід, отриманий від продажу експлуатаційних матеріалів, може бути розрахований за допомогою рівнянь, виведених для доходу від продажу запасних частин, які наведені вище.

При подальших розрахунках будемо рахувати певні види експлуатаційних матеріалів як види запасних частин і включати їх для розрахунку в наведені вище рівняння. У такому випадку рівняння для спільного доходу від продажу ЗЧ та ЕМ матиме вигляд

, (11)

де - середня вартість для клієнта набору запчастин та експлуатаційних матеріалів при виконанні одного замовлення в ПАС; g – кількість замовлень, в яких використовуються запчастини та експлуатаційні матеріали, придбані в цьому ПАС.

Характеристика попиту на запчастини та експлуатаційні матеріали конкретного ПАС для цього випадку має вигляд

, (12)

де - коефіцієнти, що визначаються експериментально шляхом дослідження ринку з метою визначення характеристики попиту на продукцію конкретного ПАС.

Дохід, отриманий від продажу агрегатів можна визначити наступним чином. При виконанні замовлення, пов’язаного з усуненням проблем у певному агрегаті автомобіля можуть бути використані дві стратегії: 1) заміна агрегату; 2) ремонт агрегату. Перша стратегія пов’язана з використанням робочої сили для демонтажу старого агрегату та монтажу нового. При реалізації другої стратегії робоча сила витрачається також на ремонт агрегату.

У першому випадку клієнт несе витрати на придбання нового агрегату. У другому випадку клієнт сплачує трудовитрати по ремонту та окремі запасні частини для ремонту агрегату. У таких випадках перед клієнтом та підприємством стоїть дилема: що є більш вигідним для одного та іншого – ремонт чи заміна агрегату. Проаналізуємо це питання.

Дохід підприємства від заміни i-го агрегату дорівнює

, (13)

де - вартість нормо-години роботи механіка при заміні і-го агрегату; - нормовані витрати часу на заміну і-го агрегату; - вартість продажу клієнту нового і-го агрегату; - повернута клієнту вартість утилізації ПАС старого і-го агрегату.

Дохід ПАС від ремонту і-го агрегату складає

, (14)

де - вартість нормо-години роботи механіка при ремонті і-го агрегату; - нормовані витрати часу на ремонт і-го агрегату; - вартість запчастин, які використані для ремонту і-го агрегату; r- кількість запчастин, які використані для ремонту і-го агрегату.

Дохід ПАС від надання послуги з усунення проблем з агрегатом автомобіля шляхом його заміни або ремонту є сумою, яку клієнт має сплатити підприємству за вирішення його проблеми. Тому клієнт обирає найбільш вигідний для себе варіант. Будемо вважати, що клієнт обирає заміну агрегату на новий за умови . Тобто він мінімізує вартість, яку він має сплатити підприємству.

За аналогією з (11) та (12) рівняння для сукупного доходу від продажу або ремонту агрегатів матиме вигляд

, (15)

де - середня вартість для клієнта заміни або ремонту агрегату при виконанні одного замовлення в ПАС; k – кількість замовлень, в яких замінювалися або ремонтувалися агрегати автомобіля.

Характеристика попиту на заміну або ремонт агрегатів в конкретному ПАС для цього випадку може приймати вигляд

, (16)

де – коефіцієнти, що визначаються експериментально для конкретного ПАС шляхом дослідження ринку.

Загальний дохід ПАС від своєї діяльності з ТО та ремонту автомобілів буде дорівнювати сумі доходів від різних її складових і виражається рівнянням (5).

Загальні витрати підприємства дорівнюють сумі постійних () та змінних витрат ()

, або , (17)

де – змінні витрати на одиницю обсягу діяльності (грн./к-сть замовлень, грн./люд.-годину, грн./грн. та ін.).

Слід нагадати, що постійні витрати є необхідними для забезпечення діяльності і не залежать від її обсягу в певних його межах, а змінні витрати пропорційні обсягу діяльності.

Прямі витрати на виконання певного замовлення можна визначити за рівнянням

, (18)

де - відповідно вектори витрат на робочу силу, запасні частини, агрегати та експлуатаційні матеріали.

Сукупні прямі витрати , пов’язані з наданням послуг з ТО та ремонту автомобілів дорівнюють

, (19)

де - сукупні прямі витрати відповідно на робочу силу, запасні частини, агрегати, експлуатаційні матеріали.

Розглянемо детально складові прямих витрат на виконання ТО та ремонту автомобілів в умовах ПАС. Ці прямі витрати також складаються з постійних (ПВ)та змінних (ЗВ) витрат.

Витрати на робочу силу описуються рівнянням

, (20)

, (21)

, (22)

де - відповідно погодинна ставка заробітної плати працівників при погодинній формі оплати, та відрядна розцінка за виконану нормо-годину роботи механіків при відрядній формі оплати за і-ту роботу; - середня відрядна розцінка за виконану нормо-годину роботи механіків при відрядній формі оплати при виконанні n замовлень; - сукупна ставка нарахувань на фонд заробітної плати; - фонд робочого часу j-го працівника ПАС при погодинній формі оплати за певний період часу; – кількість працівників, що працюють за погодинною формою оплати.

Витрати на запасні частини, агрегати та експлуатаційні матеріали можна представити у вигляді

, (23)

де - сукупні витрати, відповідно, на закупівлю, транспортування та зберігання запасних частин, агрегатів та експлуатаційних матеріалів.

Слід зауважити, що витрати на транспортування та зберігання ЗЧ, АГР та ЕМ в певних межах не залежать від їх кількості ЗЧ, АГР та ЕМ. Тобто ці витрати можна вважати постійними.

У той же час, витрати на закупівлю ЗЧ, АГР та ЕМ є пропорційними їх витраченій кількості. Ці витрати можна віднести до типових змінних витрат, які визначаються рівнянням

, (24)

де - ціна закупівлі відповідно –ої запчастини, -ого агрегату, -ої одиниці виміру експлуатаційних матеріалів; - кількість, відповідно, запасних частин, агрегатів, експлуатаційних матеріалів одного найменування; – номенклатура (кількість видів), відповідно, запасних частин, агрегатів, експлуатаційних матеріалів.

Для зручності розрахунків об’єднаємо в одну групу запасні частини та експлуатаційні матеріали. Тоді

, (25)

де - відповідно, середня собівартість набору ЗЧ та ЕМ, середня собівартість агрегатів, що використовуються при ТО та поточних ремонтах в ПАС за певний період часу; - відповідно, кількість ПР з використання ЗЧ та ЕМ та кількість поточних ремонтів із заміною агрегатів.

Прямі постійні витрати на виконання ТО та ремонтів дорівнюють

. (26)

Прямі змінні витрати на виконання ТО та поточних ремонтів можна підрахувати за формулою

. (27)

Для визначення загальних постійних витрат ПАС до прямих постійних витрат слід додати загальногосподарські витрати на забезпечення функціонування підприємства, які можна вважати постійними, так як підприємство несе ці витрати незалежно від обсягу діяльності

. (28)

Загальногосподарські витрати можна підрахувати за формулою

, (29)

де – витрати на оренду приміщень та майданчика для стоянки автомобілів (за умови їх оренди) та (або) плата за землю (при наявності власних будівель та споруд); - амортизація будівель, споруд та обладнання; - фонд заробітної плати апарату управління; нарахування на заробітну плату апарату управління; - витрати ресурсів на експлуатацію обладнання, виробничих та адміністративних приміщень; – податок з власників транспортних засобів (при їх наявності); - інші загальногосподарські витрати.

Систему рівнянь, що наведені вище можна привести до зручного для розв’язання вигляду виходячи з наступних міркувань. Хоча сукупним продуктом діяльності ПАС є послуги з ТО та ремонту автомобілів, будемо вважати таке підприємство багатопродуктовим з n продуктами, тому що звичайно клієнт оцінює окремо вартість роботи (вартість робочої сили) і вартість матеріальних складових обслуговування (запчастини, агрегати, експлуатаційні матеріали), та приймає рішення щодо їх придбання в цьому підприємстві.

При наданні послуг використовуються m видів витрат, таких як робоча сила, капітал (запасні частини, агрегати, експлуатаційні матеріали, енергоносії, будівлі та споруди, технологічне обладнання та ін.). Вектор витрат має вигляд , де - витрати j-го виробничого фактора.

Технологічний зв’язок між випуском продукції q, який вимірюється в деяких одиницях, та виробничими витратами х описується виробничою функцією F(х), що зіставляє кожному вектору витрат х величину випуску продукції q

(30)

Прибуток підприємства описується рівнянням

, (31)

де , (32)

- вектор цін на витрати.

Задачею є визначення такого оптимального співвідношення цін на кінцеву продукцію і ресурси, що витрачаються, а також кількостей витрат ресурсів, при яких підприємство отримує максимальний прибуток у короткостроковому або довгостроковому періодах.

Це задача нелінійного програмування, де в якості інструментальних змінних виступають компоненти вектору витрат х з умовою їх невід’ємності при довгостроковій задачі . При короткостроковій задачі додаються також обмеження на витрати ресурсів через неможливість зміни їх кількості в стислі терміни (певна кількість робочої сили, обладнання і т.п.) .

Необхідними умовами екстремуму, тобто максимуму прибутку є рівність нулю першої похідної функції прибутку (31)

. (33)

Звідки

(34)

або або , (35)

або , (36)

де , – відповідно, граничні продукти факторів або частинні граничні продукти та витрати ресурсів. Тобто в точці екстремуму частинні граничні продукти дорівнюють частинним граничним витратам.

Висновки. В результаті дослідження побудована об’ємна математична модель виробничої системи підприємства автосервісу, цільовою функцією якої є максимізація сукупного прибутку підприємства. Модель враховує вплив на сукупний прибуток характеристик попиту на надання послуг даним ПАС (робоча сила підприємства, продаж запасних частин, експлуатаційних матеріалів та агрегатів), дозволяє оцінити вигідність для клієнта та підприємства різних стратегій поведінки щодо використання при ремонтах нового агрегату чи ремонту старого, а також визначити оптимальні співвідношення дохідностей продажу робочої сили та матеріальних складових послуги (ЗЧ, ЕМ та АГР) при різних умовах роботи.

Перспективи подальшого дослідження. Подальше дослідження планується вести в напрямку розробки методик визначення характеристик попиту на різні продукти діяльності ПАС, розрахунку параметрів діяльності підприємства за конкретних умов його роботи, перевірки адекватності побудованої математичної моделі, та визначення оптимальних параметрів його роботи.

Література

1. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Основи математичної економіки. За редакцією О.І.Пономаренка. – К.: Інформатика, 1995. - 320 с.